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  [차길영의 족집게 수능·수리] 위대한 천재, 가우스 지면기사

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사   수 천 년에 달하는 수학의 역사 전체를 돌아보면 수없이 많은 천재수학자들이 있었지만, 그 중 남녀노소를 불문하고 모두에게 명성을 얻은 위대한 천재 수학자를 한명 꼽자면 가우스를 들 수 있을 것이다. 가우스는 지난번 칼럼에서도 소개했듯이 비유클리드 기하학을 연구하는 등 기하학 방면에서도 활약하였고, 정수론, 통계학, 해석학 등의 수학의 모든 분야에 연구를 했을 뿐 아니라, 정전기학과 같은 과학적인 연구도 활발히 했던 그야말로 당대의 첫 손꼽히던 천재 수학자이자 과학자였다. 그의 별명인 ‘수학의 왕’ 만 보더라도 그가 수학에 있어 어떠한 영향력을 끼친 수학자인지 알 수 있다.    가우스는 보통 다른 뛰어난 수학자들이 수학적인 교육에 대한 지원을 아끼지 않던 부유한 가정에서 출생하는데 반해 벽돌공의 자녀로 가난한 가정에서 자랐다. 또한 그의 아버지는 아들인 가우스가 자신의 가업을 잇기를 원했기 때문에 수학 교육에 대해 아무런 지원도 하지 않았지만, 후에 가우스는 브라운슈바이크 공작의 지원으로 수학공부를 할 수 있었다. 가우스는 매우 어릴 때부터 그의 뛰어난 천재성을 드러냈는데, 우리에게 가장 잘 알려진 일화는 그가 10살 무렵에 학교에서 선생님이 내준 1부터 100까지의 합을 구하라는 문제를 또래 아이들과는 다르게 등차수열의 합을 구하는 방법과 같이 계산한 것이다.   가우스는 브라운슈바이크 공작의 도움으로 젊은 시절 괴팅겐 대학에서 공부하게 되었는데, 이 시기에 몇 가지 중요한 이론들을 연구하였고, 변의 개수가 페르마 소수인 정다각형은 컴퍼스와 자만으로 작도가 가능하다는 것을 보이기도 하였다. 또한 이 발견은 언어학을 연구하려던 가우스를 수학을 연구하도록 돌려놓은 계기가 되는 수학사 적으로도 큰 의미가 있는발견이었다.    정확히 1796년 3월 30일이라고 기록으로 까지 남아있는 이 날은, 가우스가 정 17각형의

  2010-07-11 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리] 유클리드와 기하학

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사 유클리드에 관해서는 예전에 호제법에 관한 칼럼에서 다룬 적이 있었다. 하지만 유클리드는 사실 호제법보다 기하학 원론 이라는 책을 저술한 기하학의 체계를 구축한 수학자로 더욱 유명하다. 오죽하면 오늘날 우리가 학습하는 기하를 유클리드 기하와 비유클리드 기하학으로 나누어 구분할 정도이니 기하학에 미친 유클리드의 영향력이란 글로 표현하기 힘들 정도로 막대한 것이다.  유클리드는 아르키메데스, 피타코라스처럼 고대 그리스의 수학자이다. 그리스에서는 알렉산드리아의 에우클레이데스라 불리던 수학자인데, 프톨레마이오스 1세가 제위하던 시기에 고대 이집트의 알렉산드리아에서 활동을 하던 수학자이다. 대표적인 업적으로는 ‘원론’의 저술이 있는데, 이는 총 13권으로 된 말 그대로 기하학의 원론인 방대하고 위대한 저술이었다.이 유클리드의 기하학 원론의 위대한 점은 바로 기하학에서 필요한 기본적인 공리를 통해 결과를 이끌어 내는 논리적인 전개를 사용하였기 때문인데 근대 수학의 바탕을 잡아주었다고 할 수 있다. 비유클리드 기하학이 연구되기 전까지는 기하학이라 하면 그저 유클리드의 기하학을 의미할 정도로 수학사에 엄청난 의미를 가지고 있는 책이다. 이 유클리드 원론은 사실 기하학에만 국한된 책이 아닌 정수론과 평면기하 공간기하를 모두 포함한 훌륭한 수학적 저술이었다. 전번에 다루었던 호제법 또한 유클리드의 원론에 나오는 알고리즘이다. 유클리드 원론의 위대한 점은 최소한의 공리를 통해 수많은 정리들을 연역적인 방법으로 도출해 내었기 때문이다. 아직도 중학교에서는 유클리드의 공리와 증명들을 큰 비중으로 가르치고 있을 만큼 유클리드의 업적은 탁월한 것이었다. 이 공리들은 3차원의 공간기하로 계속 연결되는데 원론의 많은 결론들은 기하학적인 언어로 표현이 되어있다. 유클리드의 기본적인 다섯 개의 공준을 간단히 소개하면(참고로 공준이란 유클리드의 기하학원본에 있는 공리 중에서 기하학적인 내용을 지닌 공리를 말한다.)

  2010-07-05 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]사역동사 구문

  ■ 조은정 프로필     현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학5형식 사역동사의 목적보어 자리에 적절한 준동사를 활용할 수 있도록 하라. make, have, let 등의 사역동사는 목적어와 목적보어가 능동의 관계[‘O가 -하게 하다’]일 때 목적보어로 원형동사를 사용한다. 01 Students interested in the position will talk to their classmates and make posters to let class members [know / to know] they are running for that office. [문장출처: 2006 3월 전국학평] 그 직책에 관심이 있는 학생들은 급우들에게 말하고, 자신들이 출마한다는 것을 급우들에게 알리기 위해 포스터를 만들 것이다. 사역동사 let의 목적보어 자리이므로 원형동사 know가 적절.02 You need to motivate yourself because there is no one to make you [do / doing] your schoolwork, set your schedule, or get to class on time. [문장출처 : 2005 7월 전국학평] 당신에게 숙제를 하게 만들거나, 계획을 짜게 만들거나, 또는 제 시간에 수업에 도착하게 강요할 사람이 아무도 없기 때문에, 당신은 자기 스스로에게 동기를 부여할 필요가 있다. 사역동사 make의 목적보어 자리이므로 원형동사 do가 적절.03 How can you make the person you are talking to on the phone [feels / feel] special when you cannot pat their back or give them a little hug? [문장출처: 2010 수능] 당신이 전화로 이야기하는 사람의 등을 두드려주거나 작은

  2010-06-07 경인일보

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  [민석환의 족집게 수능·물리]빛의 굴절과 전반사

  ■ 민석환 프로필과학전문가 그룹 펜타스 대표이사·EBS 방송·이투스 인터넷·강남구청 인터넷수능방송 과학탐구영역 대표강사

  2010-06-07 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리] 디오판토스와 부정방정식

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사   수학을 공부하는 학생들 중 수학에 대한 교양서적을 읽어본 학생이라면 누구나 페르마의 마지막 정리에 대해 들어보았을 것이다.    “세 제곱수를 두 개의 세제곱수의 합으로 나타나는 것이나, 네제곱수를 두 개의 네제곱수의 합으로 나타내는 것이 불가능 하다. 일반적으로 n 제곱 수에 대하여 두 n 제곱수의 합으로 나타내는 것은 불가능 하다.”     ‘나는 이 정리를 증명할 아름다운 방법을 생각해 냈으나 여백이 없으므로 서술하지 않는다,’ 위 내용은 디오판타스(Diophantus)의 '산술(Arithmetica)' 에 페르마가 여백에 써 놓은 주석이다. 이 문제는 후에 '페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)' 이라는 이름이 붙여졌다.     얼핏 보면 매우 황당한 페르마의 이 서술이 긴 세월동안 많은 수학자들을 괴롭혔다. 많은 수학자들이 도전과 실패를 반복했고 마침내 1993년 앤드류 와일스에 의해 해결이 되었다. 그리고 수학계의 정밀한 검토 끝에 1994년 9월에 그의 증명이 옳음이 밝혀졌다.     페르마의 마지막 정리가 나올 수 있게 해준 고대 그리스의 수학자, 디오판토스가 바로 오늘의 주인공이다.     디오판토스는 지난 번 칼럼에서 소개한 에라토스테네스가 그랬듯 고대 그리스 시대에 이집트의 알렉산드리아에서 활약한 수학자로서 정수를 계수로 가지는 방정식(디오판토스 방정식)에 대한 폭 넒은 연구를 하였던 수학자이다. 그는 이러한 자신의 연구내용을 아리스메티카라는 이름의 책으로 정리하여 출간하였다.    디오판토스가 활약하던 시절은 너무나도 고대이기 때문에 실제 그의 수학적인 업적들 중 지금까지 전해지는 것은 그리 많지 않다. 그의 주요 저서인 산수론은 총 13권이었다고 전해지는데 현재 현존하는 건 6권에 불과

  2010-06-06 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]소수와 에라토스테네스

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사자연수는 1과 소수, 그리고 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 합성수로 이루어져 있다. 이러한 수 체계에서 소수는 상당히 중요한 위치를 차지하고 있으며 심지어 북한에서는 소수가 모든 수의 기본이 된다는 의미로 ‘씨수’라 부르기도 한다. 이러한 소수들은 위와 같이 수학적으로도 큰 의미가 있을 뿐만 아니라 실생활에서도 중요한 위치를 차지하고 있다. 특히 오늘날 사용되는 암호체계에서 소수는 결정적인 역할을 하는데, 암호해독의 키를 여러 가지 소수의 곱으로 사용하기 때문이다. 매우 큰 수를 소인수분해하는 것은 오늘날의 발전된 슈퍼컴퓨터로도 긴 시간이 걸리는 작업이기 때문에 개인적인 정보나 국가적으로 중요한 정보를 보호하는 암호의 키로 사용하기에 그야말로 제격이기 때문이다. 이러한 소수를 찾는 방법중 가장 원시적이고 가장 효과적인 것이 바로 오늘 다룰 ‘에라토스테네스의 체’ 이다. 고대 그리스의 수학자인 에라토스테네스는 철학자 플라톤의 아카데메이아와 아리스토텔레스의 리케이온을 다니면서 수학과 과학을 배워 명성을 떨쳤다. 이집트의 왕이었던 프톨레마이오스 3세는 그의 명성을 듣고 알렉산드리아로 초청했고, 에라토스테네스는 그곳에서 당대의 이름 높은 학자들과 함께 연구를 했다. 당시 알렉산드리아의 도서관은 세계의 학문의 중심지였는데 에라토스테네스는 그 알렉산드리아 도서관의 관장을 맡기도 하며 그곳에서 수학과 과학을 연구했다. 에라토스테네스는 그 당시의 많은 학자들처럼 다양한 분야에 뛰어난 재능을 보였는데 그 중에서도 가장 두각을 나타낸 분야는 수학이었다. 그는 특히 소수에 큰 흥미를 느꼈는데 그가 발명한 역사상 가장 효과적인 소수를 찾는 방법이 바로 ‘에라토스테네스의 체’ 이다. 에라토스테네스의 체의 장점은 그것이 아주 간편하고 쉽다는 것에 있다. 예를 들어 1부터 100까지의 수 중 소수를 찾으려면 1부터 100까지 나열하고 1은 소수가 아니므로 지우고, 2를 남기고 2의 배수를 모두 지우고, 3을 남기고

  2010-05-30 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]집합론의 아버지 칸토어

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사 초등학교에서 중학교로 올라갈 때, 그리고 중학교에서 고등학교로 올라와서 수학책을 펼쳐보면 항상 가장 처음에 나오고 가장 먼저 배우는 것이 바로 집합이다. 집합이 대체 어떤 것이기에 이토록 중요하게 여기는 것일까. 여러 가지 이유가 있겠지만, 수학교과서의 가장 앞부분에서 집합을 학습하는 중요한 이유 중 하나는, 바로 집합을 이용하면 여러 가지 개념을 일정한 기준에 따라 체계적인 분류를 할 수 있기 때문이다. 이를테면 집합은 영어에서의 문법과 같은 역할을 한다고 볼 수 있다. 예를 들어 고교 수학과정의 대부분을 차지하는 함수, 방정식, 부등식과 같은 것들 역시 집합을 이용하여 논리적인 설명이 가능하기 때문이다. 서두가 길었지만, 바로 이 집합론을 정립한 수학자가 오늘 이야기할 게오르그 칸토어이다. 게오르그 칸토어는 상트페테르부르크에서 이름을 날리던 상인인 아버지와 음악에 조예가 깊던 어머니 사이에서 태어났다. 그는 어릴 적부터 아버지와 어머니의 영향으로 상당한 수준의 예술적인 재능을 발휘하기도 했었다. 칸토어는 11살이 되던 해 아버지의 건강을 위해 독일로 이주하게 되었는데, 그는 독일 생활에 잘 적응하지 못하고 평생 러시아에서의 어린 시절을 그리워했다. 그는 독일에서 고교과정까지 마치고 취리히 공과대학에 입학하였다. 그는 아들이 엔지니어가 되길 바란 아버지와는 달리 수학을 공부하고 싶어 하였고, 마침내 아버지의 허락을 받아냈으나 이듬해 칸토어의 아버지가 죽게 되면서 베를린 대학으로 와서 다시 학업을 계속하게 되었다. 그곳에서 그는 당대의 유명한 수학자인 크로네커, 바이어슈트라스, 쿠머 등의 강의를 접하며 학업을 이어 나가고 몇 년 후 정수론에 관한 논문으로 박사학위를 받게 된다. 박사학위를 받은 후 할레대학에서 교수생활을 하게 되는데 이 때, 그는 정수론 이외에도 해석학을 연구하게 되고, 그 후 생의 대부분을 수학 연구에 쏟았다. 그는 지금까지 다뤄온 수학자들과 같이 방대한 영역

  2010-05-24 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]파스칼과 삼각형

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사동서고금을 막론하고 수학을 잘하는 사람은 여러방면에 재능이 풍부한 경우가 많다. 갈릴레이가 그랬고, 뉴턴이 그랬으며, 데카르트가 그랬듯 뛰어난 수학자는 동시에 뛰어난 발명가이기도 했고, 뛰어난 철학자이기도 했다. 이렇듯 다재다능한 수학자중 대표적인 사람이 바로 오늘 이야기할 파스칼이다. 고등학교 2학년 이상의 학생들은 파스칼을 어디선가 들어보았을 것이다. 바로 이항정리 단원에 나오는 파스칼의 삼각형이 그것이고, 기압의 단위로 사용되는 헥토파스칼, 파스칼이 바로 오늘의 주인공 블레즈 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)의 이름을 따서 지어진 것이다.  파스칼은 1623년에 프랑스에서 태어났다. 3세 때 어머니가 돌아가신 후 아버지를 따라 파리에 이주하여 독학으로 유클리드기하학을 공부하였다. 한국학생들이라면 고등학교에 들어갈 나이에 고등학교 수학2에서 배우는 원뿔곡선에 대해 발표하여 당시의 수학자들에게 큰 주목을 받으며 화려하게 데뷔하였다. 이 때 발표한 ‘원뿔곡선 시론’ 에는 대학에서 배울 사영기하학에 나오는 파스칼의 정리를 포함하고 있는데, 10대 중반의 나이에 이러한 것을 발표하였다니 놀라울 뿐이다. 파스칼은 약 2년 후 계산기를 고안하였고 다시 2년이 지나서 개발에 성공하였다. 그는 루앙에 있던 시기에 토리첼리의 실험을 행하였고, 진공, 유체역학등에 흥미를 가져 물리학에 관한 논문을 발표하기도 하였다. 20대 중반이 되어 그는 질병의 진단을 위해 다시 파리로 왔다가 좌표평면을 고안한 데카르트와 만나기도 하였다. 1651년 아버지가 죽은 후, 그는 인생의 기쁨을 추구하기 위하여 사교계에 뛰어들었으나, 그 와중에도 비상한 두뇌를 이용하여 도박의 판돈분배 문제에서 출발한 확률론을 창한하기도 하였다. 이 때 그는 ‘수삼각형론’을 썼는데 바로 이 수삼각형이 고등학교 수학에 나오는 파스칼의 삼각형이다. 그는 이 논문으로 수학적 귀납법의 전형을 구성하였으며, 순열, 조합, 확률과

  2010-05-24 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]대명사의 수일치

  ■ 조은정 프로필    현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학  대명사는 일반적으로 그 앞이나 뒤에 나오는 명사(선행사)를 받아 그 명사의 문법적 정보를 그대로 지니고 있다. 단수 명사를 받으면 단수 대명사를, 복수 명사를 받으면 복수 대명사를 사용해야 한다. 이를 대명사 수일치라 하는데, 수능 어법 문제로 자주 출제된다. 단순한 원칙이지만 독해력이 빈약한 수험생은 문맥에 맞게 선행사를 정확히 찾아내지 못하여 틀리는 경우가 많다. 대명사의 선행사가 구체적인 명사가 아니라 추상적인 구나 절일 경우도, 단수 취급한다. 평상시 독해 공부를 할 때 대명사 지칭 추론 훈련을 습관화하라.01 Things often seem at [its / their] worst just before they get better. [2006년 수능기출 응용] 상황은 흔히 나아지기 직전에 최악으로 보인다. 주어 명사 things를 받는 복수 대명사의 소유격 their가 적절.02 In spite of [its / their] close location to these countries, however, Korea has remained free of the deadly disease.[2004년 수능기출 응용]    이 아시아 국가들과 가까이 위치하고 있음에도 불구하고, 한국은 그 치명적인 질병의 영향권에서 벗어낫다. 대명사가 받는 선행사가 뒤에 나오는 경우다. 문맥상 주절 주어 Korea를 받으므로, 단수 대명사 its가 적절.  03 Children from nearly 100 countries met in Connecticut recently to learn about the environment and discuss ways to protect [it / them]. [2006년 03월 전국학평 기출]

  2010-05-10 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]코시-슈바르츠의 코시는 누구인가

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사 코시-슈바르츠 부등식, 고등학교 1학년 1학기의 맨 마지막에 배우는 절대부등식에서 가장 중요하다 할 수 있는 부분이다. 하지만 많은 학생들은 코시-슈바르츠에 대해 잘 모르고 있다. 심지어는 코시와 슈바르츠가 다른 사람인 것조차 모르는 경우가 많다.  코시-슈바르츠 부등식은 프랑스의 수학자 코시가 처음 증명을 했고  독일의 수학자 슈바르츠가 후에 이 부등식을 일반화 하면서 코시-슈바르츠 부등식이라는 이름이 붙게 되었다.코시는 현대의 수학에 있어 정말 큰 기여를 한 프랑스의 대 수학자이지만, 고등학교 과정에서는 다른 위대한 수학자들만큼 크게 알려지지 않은 것 같다. 오늘은 바로 그 코시에 대해서 이야기 하려한다. 코시는 지금까지 다뤄온 수학자 중 가장 최근의 사람이다. 코시는 19세기에 활동한 프랑스의 수학자로서 프랑스 대혁명이 일어난 해에 관리인 아버지 밑에서 태어났다. 프랑스 대혁명이 일어난 해였기 때문에 그의 가족은 위험을 피해 작은 마을에서 숨어 지냈다. 그러나 그 와중에도 깨어있는 의식을 지녔던 코시의 부모는 코시의 교육에는 열정을 다 했다. 코시는 독실한 가톨릭 신자이던 부모님 밑에서 자라며 그리스어 등을 배우기도 했다. 당시 코시의 이웃으로는 19세기 프랑스의 대수학자중 하나인 라플라스(전편에서 네이피어에게 ‘천문학자의 수명을 늘렸다.’ 라 극찬한 수학자.)가 있었는데 그 라플라스와 교류하며 어린 코시는 수학에 흥미를 느끼고 수학을 공부했다. 그 때부터 수학자로서의 뛰어난 재능을 보인 코시에게 라플라스는 수학의 길을 걷도록 조언을 해주었다. 혁명이 지난 후 세상이 안정되자 코시의 가족은 다시 안정된 생활로 돌아가게 되고 그곳에서 코시는 당시의 또 다른 대 수학자인 라그랑주와 만나게 되었다. 라그랑주역시 코시의 뛰어난 수학적 재능을 간파하여 코시를 아끼게 되었다. 코시는 라그랑주, 라플라스 이외에도 수많은 수학자, 과학자와 친분을 다지며 학업을 계속해

  2010-05-09 경인일보