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  [차길영의 족집게 수능·수리] 위대한 천재, 가우스 지면기사

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사   수 천 년에 달하는 수학의 역사 전체를 돌아보면 수없이 많은 천재수학자들이 있었지만, 그 중 남녀노소를 불문하고 모두에게 명성을 얻은 위대한 천재 수학자를 한명 꼽자면 가우스를 들 수 있을 것이다. 가우스는 지난번 칼럼에서도 소개했듯이 비유클리드 기하학을 연구하는 등 기하학 방면에서도 활약하였고, 정수론, 통계학, 해석학 등의 수학의 모든 분야에 연구를 했을 뿐 아니라, 정전기학과 같은 과학적인 연구도 활발히 했던 그야말로 당대의 첫 손꼽히던 천재 수학자이자 과학자였다. 그의 별명인 ‘수학의 왕’ 만 보더라도 그가 수학에 있어 어떠한 영향력을 끼친 수학자인지 알 수 있다.    가우스는 보통 다른 뛰어난 수학자들이 수학적인 교육에 대한 지원을 아끼지 않던 부유한 가정에서 출생하는데 반해 벽돌공의 자녀로 가난한 가정에서 자랐다. 또한 그의 아버지는 아들인 가우스가 자신의 가업을 잇기를 원했기 때문에 수학 교육에 대해 아무런 지원도 하지 않았지만, 후에 가우스는 브라운슈바이크 공작의 지원으로 수학공부를 할 수 있었다. 가우스는 매우 어릴 때부터 그의 뛰어난 천재성을 드러냈는데, 우리에게 가장 잘 알려진 일화는 그가 10살 무렵에 학교에서 선생님이 내준 1부터 100까지의 합을 구하라는 문제를 또래 아이들과는 다르게 등차수열의 합을 구하는 방법과 같이 계산한 것이다.   가우스는 브라운슈바이크 공작의 도움으로 젊은 시절 괴팅겐 대학에서 공부하게 되었는데, 이 시기에 몇 가지 중요한 이론들을 연구하였고, 변의 개수가 페르마 소수인 정다각형은 컴퍼스와 자만으로 작도가 가능하다는 것을 보이기도 하였다. 또한 이 발견은 언어학을 연구하려던 가우스를 수학을 연구하도록 돌려놓은 계기가 되는 수학사 적으로도 큰 의미가 있는발견이었다.    정확히 1796년 3월 30일이라고 기록으로 까지 남아있는 이 날은, 가우스가 정 17각형의

  2010-07-11 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리] 유클리드와 기하학

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사 유클리드에 관해서는 예전에 호제법에 관한 칼럼에서 다룬 적이 있었다. 하지만 유클리드는 사실 호제법보다 기하학 원론 이라는 책을 저술한 기하학의 체계를 구축한 수학자로 더욱 유명하다. 오죽하면 오늘날 우리가 학습하는 기하를 유클리드 기하와 비유클리드 기하학으로 나누어 구분할 정도이니 기하학에 미친 유클리드의 영향력이란 글로 표현하기 힘들 정도로 막대한 것이다.  유클리드는 아르키메데스, 피타코라스처럼 고대 그리스의 수학자이다. 그리스에서는 알렉산드리아의 에우클레이데스라 불리던 수학자인데, 프톨레마이오스 1세가 제위하던 시기에 고대 이집트의 알렉산드리아에서 활동을 하던 수학자이다. 대표적인 업적으로는 ‘원론’의 저술이 있는데, 이는 총 13권으로 된 말 그대로 기하학의 원론인 방대하고 위대한 저술이었다.이 유클리드의 기하학 원론의 위대한 점은 바로 기하학에서 필요한 기본적인 공리를 통해 결과를 이끌어 내는 논리적인 전개를 사용하였기 때문인데 근대 수학의 바탕을 잡아주었다고 할 수 있다. 비유클리드 기하학이 연구되기 전까지는 기하학이라 하면 그저 유클리드의 기하학을 의미할 정도로 수학사에 엄청난 의미를 가지고 있는 책이다. 이 유클리드 원론은 사실 기하학에만 국한된 책이 아닌 정수론과 평면기하 공간기하를 모두 포함한 훌륭한 수학적 저술이었다. 전번에 다루었던 호제법 또한 유클리드의 원론에 나오는 알고리즘이다. 유클리드 원론의 위대한 점은 최소한의 공리를 통해 수많은 정리들을 연역적인 방법으로 도출해 내었기 때문이다. 아직도 중학교에서는 유클리드의 공리와 증명들을 큰 비중으로 가르치고 있을 만큼 유클리드의 업적은 탁월한 것이었다. 이 공리들은 3차원의 공간기하로 계속 연결되는데 원론의 많은 결론들은 기하학적인 언어로 표현이 되어있다. 유클리드의 기본적인 다섯 개의 공준을 간단히 소개하면(참고로 공준이란 유클리드의 기하학원본에 있는 공리 중에서 기하학적인 내용을 지닌 공리를 말한다.)

  2010-07-05 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]사역동사 구문

  ■ 조은정 프로필     현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학5형식 사역동사의 목적보어 자리에 적절한 준동사를 활용할 수 있도록 하라. make, have, let 등의 사역동사는 목적어와 목적보어가 능동의 관계[‘O가 -하게 하다’]일 때 목적보어로 원형동사를 사용한다. 01 Students interested in the position will talk to their classmates and make posters to let class members [know / to know] they are running for that office. [문장출처: 2006 3월 전국학평] 그 직책에 관심이 있는 학생들은 급우들에게 말하고, 자신들이 출마한다는 것을 급우들에게 알리기 위해 포스터를 만들 것이다. 사역동사 let의 목적보어 자리이므로 원형동사 know가 적절.02 You need to motivate yourself because there is no one to make you [do / doing] your schoolwork, set your schedule, or get to class on time. [문장출처 : 2005 7월 전국학평] 당신에게 숙제를 하게 만들거나, 계획을 짜게 만들거나, 또는 제 시간에 수업에 도착하게 강요할 사람이 아무도 없기 때문에, 당신은 자기 스스로에게 동기를 부여할 필요가 있다. 사역동사 make의 목적보어 자리이므로 원형동사 do가 적절.03 How can you make the person you are talking to on the phone [feels / feel] special when you cannot pat their back or give them a little hug? [문장출처: 2010 수능] 당신이 전화로 이야기하는 사람의 등을 두드려주거나 작은

  2010-06-07 경인일보

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  [민석환의 족집게 수능·물리]빛의 굴절과 전반사

  ■ 민석환 프로필과학전문가 그룹 펜타스 대표이사·EBS 방송·이투스 인터넷·강남구청 인터넷수능방송 과학탐구영역 대표강사

  2010-06-07 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리] 디오판토스와 부정방정식

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사   수학을 공부하는 학생들 중 수학에 대한 교양서적을 읽어본 학생이라면 누구나 페르마의 마지막 정리에 대해 들어보았을 것이다.    “세 제곱수를 두 개의 세제곱수의 합으로 나타나는 것이나, 네제곱수를 두 개의 네제곱수의 합으로 나타내는 것이 불가능 하다. 일반적으로 n 제곱 수에 대하여 두 n 제곱수의 합으로 나타내는 것은 불가능 하다.”     ‘나는 이 정리를 증명할 아름다운 방법을 생각해 냈으나 여백이 없으므로 서술하지 않는다,’ 위 내용은 디오판타스(Diophantus)의 '산술(Arithmetica)' 에 페르마가 여백에 써 놓은 주석이다. 이 문제는 후에 '페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)' 이라는 이름이 붙여졌다.     얼핏 보면 매우 황당한 페르마의 이 서술이 긴 세월동안 많은 수학자들을 괴롭혔다. 많은 수학자들이 도전과 실패를 반복했고 마침내 1993년 앤드류 와일스에 의해 해결이 되었다. 그리고 수학계의 정밀한 검토 끝에 1994년 9월에 그의 증명이 옳음이 밝혀졌다.     페르마의 마지막 정리가 나올 수 있게 해준 고대 그리스의 수학자, 디오판토스가 바로 오늘의 주인공이다.     디오판토스는 지난 번 칼럼에서 소개한 에라토스테네스가 그랬듯 고대 그리스 시대에 이집트의 알렉산드리아에서 활약한 수학자로서 정수를 계수로 가지는 방정식(디오판토스 방정식)에 대한 폭 넒은 연구를 하였던 수학자이다. 그는 이러한 자신의 연구내용을 아리스메티카라는 이름의 책으로 정리하여 출간하였다.    디오판토스가 활약하던 시절은 너무나도 고대이기 때문에 실제 그의 수학적인 업적들 중 지금까지 전해지는 것은 그리 많지 않다. 그의 주요 저서인 산수론은 총 13권이었다고 전해지는데 현재 현존하는 건 6권에 불과

  2010-06-06 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]소수와 에라토스테네스

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사자연수는 1과 소수, 그리고 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 합성수로 이루어져 있다. 이러한 수 체계에서 소수는 상당히 중요한 위치를 차지하고 있으며 심지어 북한에서는 소수가 모든 수의 기본이 된다는 의미로 ‘씨수’라 부르기도 한다. 이러한 소수들은 위와 같이 수학적으로도 큰 의미가 있을 뿐만 아니라 실생활에서도 중요한 위치를 차지하고 있다. 특히 오늘날 사용되는 암호체계에서 소수는 결정적인 역할을 하는데, 암호해독의 키를 여러 가지 소수의 곱으로 사용하기 때문이다. 매우 큰 수를 소인수분해하는 것은 오늘날의 발전된 슈퍼컴퓨터로도 긴 시간이 걸리는 작업이기 때문에 개인적인 정보나 국가적으로 중요한 정보를 보호하는 암호의 키로 사용하기에 그야말로 제격이기 때문이다. 이러한 소수를 찾는 방법중 가장 원시적이고 가장 효과적인 것이 바로 오늘 다룰 ‘에라토스테네스의 체’ 이다. 고대 그리스의 수학자인 에라토스테네스는 철학자 플라톤의 아카데메이아와 아리스토텔레스의 리케이온을 다니면서 수학과 과학을 배워 명성을 떨쳤다. 이집트의 왕이었던 프톨레마이오스 3세는 그의 명성을 듣고 알렉산드리아로 초청했고, 에라토스테네스는 그곳에서 당대의 이름 높은 학자들과 함께 연구를 했다. 당시 알렉산드리아의 도서관은 세계의 학문의 중심지였는데 에라토스테네스는 그 알렉산드리아 도서관의 관장을 맡기도 하며 그곳에서 수학과 과학을 연구했다. 에라토스테네스는 그 당시의 많은 학자들처럼 다양한 분야에 뛰어난 재능을 보였는데 그 중에서도 가장 두각을 나타낸 분야는 수학이었다. 그는 특히 소수에 큰 흥미를 느꼈는데 그가 발명한 역사상 가장 효과적인 소수를 찾는 방법이 바로 ‘에라토스테네스의 체’ 이다. 에라토스테네스의 체의 장점은 그것이 아주 간편하고 쉽다는 것에 있다. 예를 들어 1부터 100까지의 수 중 소수를 찾으려면 1부터 100까지 나열하고 1은 소수가 아니므로 지우고, 2를 남기고 2의 배수를 모두 지우고, 3을 남기고

  2010-05-30 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]집합론의 아버지 칸토어

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사 초등학교에서 중학교로 올라갈 때, 그리고 중학교에서 고등학교로 올라와서 수학책을 펼쳐보면 항상 가장 처음에 나오고 가장 먼저 배우는 것이 바로 집합이다. 집합이 대체 어떤 것이기에 이토록 중요하게 여기는 것일까. 여러 가지 이유가 있겠지만, 수학교과서의 가장 앞부분에서 집합을 학습하는 중요한 이유 중 하나는, 바로 집합을 이용하면 여러 가지 개념을 일정한 기준에 따라 체계적인 분류를 할 수 있기 때문이다. 이를테면 집합은 영어에서의 문법과 같은 역할을 한다고 볼 수 있다. 예를 들어 고교 수학과정의 대부분을 차지하는 함수, 방정식, 부등식과 같은 것들 역시 집합을 이용하여 논리적인 설명이 가능하기 때문이다. 서두가 길었지만, 바로 이 집합론을 정립한 수학자가 오늘 이야기할 게오르그 칸토어이다. 게오르그 칸토어는 상트페테르부르크에서 이름을 날리던 상인인 아버지와 음악에 조예가 깊던 어머니 사이에서 태어났다. 그는 어릴 적부터 아버지와 어머니의 영향으로 상당한 수준의 예술적인 재능을 발휘하기도 했었다. 칸토어는 11살이 되던 해 아버지의 건강을 위해 독일로 이주하게 되었는데, 그는 독일 생활에 잘 적응하지 못하고 평생 러시아에서의 어린 시절을 그리워했다. 그는 독일에서 고교과정까지 마치고 취리히 공과대학에 입학하였다. 그는 아들이 엔지니어가 되길 바란 아버지와는 달리 수학을 공부하고 싶어 하였고, 마침내 아버지의 허락을 받아냈으나 이듬해 칸토어의 아버지가 죽게 되면서 베를린 대학으로 와서 다시 학업을 계속하게 되었다. 그곳에서 그는 당대의 유명한 수학자인 크로네커, 바이어슈트라스, 쿠머 등의 강의를 접하며 학업을 이어 나가고 몇 년 후 정수론에 관한 논문으로 박사학위를 받게 된다. 박사학위를 받은 후 할레대학에서 교수생활을 하게 되는데 이 때, 그는 정수론 이외에도 해석학을 연구하게 되고, 그 후 생의 대부분을 수학 연구에 쏟았다. 그는 지금까지 다뤄온 수학자들과 같이 방대한 영역

  2010-05-24 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]파스칼과 삼각형

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사동서고금을 막론하고 수학을 잘하는 사람은 여러방면에 재능이 풍부한 경우가 많다. 갈릴레이가 그랬고, 뉴턴이 그랬으며, 데카르트가 그랬듯 뛰어난 수학자는 동시에 뛰어난 발명가이기도 했고, 뛰어난 철학자이기도 했다. 이렇듯 다재다능한 수학자중 대표적인 사람이 바로 오늘 이야기할 파스칼이다. 고등학교 2학년 이상의 학생들은 파스칼을 어디선가 들어보았을 것이다. 바로 이항정리 단원에 나오는 파스칼의 삼각형이 그것이고, 기압의 단위로 사용되는 헥토파스칼, 파스칼이 바로 오늘의 주인공 블레즈 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)의 이름을 따서 지어진 것이다.  파스칼은 1623년에 프랑스에서 태어났다. 3세 때 어머니가 돌아가신 후 아버지를 따라 파리에 이주하여 독학으로 유클리드기하학을 공부하였다. 한국학생들이라면 고등학교에 들어갈 나이에 고등학교 수학2에서 배우는 원뿔곡선에 대해 발표하여 당시의 수학자들에게 큰 주목을 받으며 화려하게 데뷔하였다. 이 때 발표한 ‘원뿔곡선 시론’ 에는 대학에서 배울 사영기하학에 나오는 파스칼의 정리를 포함하고 있는데, 10대 중반의 나이에 이러한 것을 발표하였다니 놀라울 뿐이다. 파스칼은 약 2년 후 계산기를 고안하였고 다시 2년이 지나서 개발에 성공하였다. 그는 루앙에 있던 시기에 토리첼리의 실험을 행하였고, 진공, 유체역학등에 흥미를 가져 물리학에 관한 논문을 발표하기도 하였다. 20대 중반이 되어 그는 질병의 진단을 위해 다시 파리로 왔다가 좌표평면을 고안한 데카르트와 만나기도 하였다. 1651년 아버지가 죽은 후, 그는 인생의 기쁨을 추구하기 위하여 사교계에 뛰어들었으나, 그 와중에도 비상한 두뇌를 이용하여 도박의 판돈분배 문제에서 출발한 확률론을 창한하기도 하였다. 이 때 그는 ‘수삼각형론’을 썼는데 바로 이 수삼각형이 고등학교 수학에 나오는 파스칼의 삼각형이다. 그는 이 논문으로 수학적 귀납법의 전형을 구성하였으며, 순열, 조합, 확률과

  2010-05-24 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]대명사의 수일치

  ■ 조은정 프로필    현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학  대명사는 일반적으로 그 앞이나 뒤에 나오는 명사(선행사)를 받아 그 명사의 문법적 정보를 그대로 지니고 있다. 단수 명사를 받으면 단수 대명사를, 복수 명사를 받으면 복수 대명사를 사용해야 한다. 이를 대명사 수일치라 하는데, 수능 어법 문제로 자주 출제된다. 단순한 원칙이지만 독해력이 빈약한 수험생은 문맥에 맞게 선행사를 정확히 찾아내지 못하여 틀리는 경우가 많다. 대명사의 선행사가 구체적인 명사가 아니라 추상적인 구나 절일 경우도, 단수 취급한다. 평상시 독해 공부를 할 때 대명사 지칭 추론 훈련을 습관화하라.01 Things often seem at [its / their] worst just before they get better. [2006년 수능기출 응용] 상황은 흔히 나아지기 직전에 최악으로 보인다. 주어 명사 things를 받는 복수 대명사의 소유격 their가 적절.02 In spite of [its / their] close location to these countries, however, Korea has remained free of the deadly disease.[2004년 수능기출 응용]    이 아시아 국가들과 가까이 위치하고 있음에도 불구하고, 한국은 그 치명적인 질병의 영향권에서 벗어낫다. 대명사가 받는 선행사가 뒤에 나오는 경우다. 문맥상 주절 주어 Korea를 받으므로, 단수 대명사 its가 적절.  03 Children from nearly 100 countries met in Connecticut recently to learn about the environment and discuss ways to protect [it / them]. [2006년 03월 전국학평 기출]

  2010-05-10 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]코시-슈바르츠의 코시는 누구인가

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사 코시-슈바르츠 부등식, 고등학교 1학년 1학기의 맨 마지막에 배우는 절대부등식에서 가장 중요하다 할 수 있는 부분이다. 하지만 많은 학생들은 코시-슈바르츠에 대해 잘 모르고 있다. 심지어는 코시와 슈바르츠가 다른 사람인 것조차 모르는 경우가 많다.  코시-슈바르츠 부등식은 프랑스의 수학자 코시가 처음 증명을 했고  독일의 수학자 슈바르츠가 후에 이 부등식을 일반화 하면서 코시-슈바르츠 부등식이라는 이름이 붙게 되었다.코시는 현대의 수학에 있어 정말 큰 기여를 한 프랑스의 대 수학자이지만, 고등학교 과정에서는 다른 위대한 수학자들만큼 크게 알려지지 않은 것 같다. 오늘은 바로 그 코시에 대해서 이야기 하려한다. 코시는 지금까지 다뤄온 수학자 중 가장 최근의 사람이다. 코시는 19세기에 활동한 프랑스의 수학자로서 프랑스 대혁명이 일어난 해에 관리인 아버지 밑에서 태어났다. 프랑스 대혁명이 일어난 해였기 때문에 그의 가족은 위험을 피해 작은 마을에서 숨어 지냈다. 그러나 그 와중에도 깨어있는 의식을 지녔던 코시의 부모는 코시의 교육에는 열정을 다 했다. 코시는 독실한 가톨릭 신자이던 부모님 밑에서 자라며 그리스어 등을 배우기도 했다. 당시 코시의 이웃으로는 19세기 프랑스의 대수학자중 하나인 라플라스(전편에서 네이피어에게 ‘천문학자의 수명을 늘렸다.’ 라 극찬한 수학자.)가 있었는데 그 라플라스와 교류하며 어린 코시는 수학에 흥미를 느끼고 수학을 공부했다. 그 때부터 수학자로서의 뛰어난 재능을 보인 코시에게 라플라스는 수학의 길을 걷도록 조언을 해주었다. 혁명이 지난 후 세상이 안정되자 코시의 가족은 다시 안정된 생활로 돌아가게 되고 그곳에서 코시는 당시의 또 다른 대 수학자인 라그랑주와 만나게 되었다. 라그랑주역시 코시의 뛰어난 수학적 재능을 간파하여 코시를 아끼게 되었다. 코시는 라그랑주, 라플라스 이외에도 수많은 수학자, 과학자와 친분을 다지며 학업을 계속해

  2010-05-09 경인일보

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  [한종철의 족집게 수능·생물]배설표를 통한 배설 원리 및 물질의 특성 파악

  ■ 한종철 프로필과학 전문가 그룹 펜타스 이사·강남구청 인터넷수능방송·이투스 인터넷 강사

  2010-05-03 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]부정사와 동명사

  ■ 조은정 프로필    현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학 동사 remember/forget은 to 부정사와 동명사를 목적어로 취할 수 있으나, 의미가 달라진다. to 부정사를 목적어로 취할 경우, 미래적인 의미로 “-할 것을 기억하다/잊다”로 해석된다. 동명사를 목적어로 취할 경우, 과거의 일을 표현하면서 “-했음을 기억하다/잊다”로 해석된다. 문맥에 따라 적절히 구사하는 훈련을 하자. 수능 어법 빈출 유형이다.01 I remember [to see / seeing] Omar Sharif in Doctor Zhivago and Lawrence of Arabia. At that time, I thought he was astoundingly handsome. [2005 3월 전국학평 기출] 나는 Doctor Zhivago and Lawrence of Arabia라는 작품에서 Omar Sharif를 보았던 기억이 난다. 그 당시 나는 그가 놀랍게 잘생겼다고 생각했다. “-했던 것을 기억하다”의 의미로, 문맥상 seeing이 적절.02 She had a very good voice, except that some of her high notes tended to sound like a gate which someone had forgotten [oiling / to oil]. [2008 3월 전국학평 기출] 일부 고음 처리가 누군가가 기름칠할 것을 잊어버린(잊어버리고 기름칠하지 않은) 문짝과 같은 소리가 난다는 점을 제외하면, 그녀의 목소리는 훌륭했다. “-할 것을 잊다/잊고서 -하지 않다”는 의미가 적절하므로, to oil이 정답.03 It’s really easy to forget to take the time to say Thank You, and yet, it’s an essential part of inter

  2010-05-03 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]로그와 네이피어

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사오늘날의 우리는 지수가 있는 식을 계산하거나 지수가 포함된 상당히 복잡한 식을 연산하기 위해 여러 가지 방법을 사용 할 수 있다. 긴 시간이 들더라도 직접 계산을 할 수도 있고, 로그를 취하여 연산을 한결 간편하게 할 수도 있는데, 오늘은 바로 이 로그에 대해 이야기 해보려 한다. 로그(logarithm)는 17세기 영국의 수학자인 존 네이피어(John Napier, 1550~1617)에 의해 발명되었다. 네이피어는 오늘날 로그를 발명한 수학자로 널리 알려져 있지만, 사실 네이피어는 수학 뿐 아니라 다양한 분야에 재능이 있던 사람이었다. 네이피어는 귀족의 아들로 태어나서 철저한 청교도이던 아버지 밑에서 자랐다. 네이피어가 13살이 될 무렵 네이피어는 수학이 아닌 신학과 철학을 공부하기 위하여 세인트앤드루스대학에 입학하게 되었고, 그 후 오랜 기간 프랑스에서 공부하게 되었다. 그는 그동안 신학뿐만 아니라 수학과 점성술에도 심취하게 되었고 뛰어난 상상력을 발휘하여 여러 가지 물건들을 고안하기도 했다. 그가 고안했던 물건 중 오늘날에도 사용되는 전쟁무기의 원형들이 아주 많았는데, 오늘날의 탱크, 기관총 그리고 잠수함에 해당되는 무기들을 약 이백년이나 먼저 고안하기도 했다. 이렇듯 여러 가지에 관심을 보이던 네이피어는 또한 당시 영국에서의 청교도 혁명으로 시작된 정치적, 종교적인 논쟁에도 깊이 관여하였고 이내 끊이지 않는 논쟁에 환멸을 느끼게 되었다. 그래서 그가 마음의 안식을 얻기 위해 시작한 것이 바로 수학이다. 오늘날의 많은 사람들은 수학을 공부하면 마음의 휴식을 얻는 다는 것에 공감하지 못하겠지만, 적어도 네이피어에게는 그랬던 모양이다. 그는 수학과 천문학을 연구하며 즐거움을 느끼고 ‘마음의 안식’을 얻었다.  이 시기에 그는 여러 가지 업적을 남겼는데, 그중 오늘날 까지도 유용하게 쓰이고 있는 대표적인 업적이 로그의 발명이다. 그는 천문학에 깊은 관심을 보였는데 천문학에 쓰이는

  2010-05-02 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]등위 접속사 병렬구조

  ■ 조은정 프로필    현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학 등위 접속사로 연결된 어구 “A and/or/but B" 에서 연결되고 있는 A와 B는 문법적으로 대등한 구조여야 한다. 수능 어법에 자주 출제되는 유형으로서, 문장 속에서 등위 접속사로 연결된 구조가 등장할 때마다 “나란하게” 연결되어 있는지 따져보는 습관을 가져야 한다. 절과 절만을 연결하는 종속 접속사와는 달리, 이들 등위 접속사는 단어, 구, 절 모든 성분을 연결할 수 있다. 단, 병렬구조를 유지해야만 한다. 다음 문장들을 통해 점검하라.01 But a human is much more capable of operating those instruments correctly and to place them in appropriate and useful positions. [2010 수능 어법기출] 하지만 인간은 그러한 도구들을 정확하게 조작하고 그것들을 적절하고 유용한 위치에 설치하는 데 있어서 훨씬 더 유능하다. 등위 접속사 and 다음에 밑줄이 쳐져 있으므로, 병렬구조에 유의하라. 문맥과 구조로 보아, be capable of ~ing(-할 능력이 있다) 구문에 걸리는 동명사 병렬구조, 즉 operating ~ and placing의 구조가 적절하다. 따라서 to place를 동명사 placing으로 수정해야 한다.   02 It is the fun that comes from cheering on our team and [celebrates / celebrating] its skills while complaining about the opposing team’s good luck. [문장출처: 2009 수능] 그것은 상대방 팀의 행운에 대해 불평하면서 자신의 팀을 응원하고 그 기술에 찬사를 보냄에서오는 즐거움이다. celebrating이

  2010-04-25 경인일보

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  [하지혜의 족집게 수능·언어]전달력 강한 구체적인 언어, 시(詩)

  ■ 하지혜 프로필 서초동 가람 언어전문학원 원장 현 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현 비타에듀 인터넷 방송 강사현 강남 메가스터디 학원현 압구정 정보 학원요즘 서울시 대중교통관련 시설 곳곳에 시(詩)가 보인다. 지하철 스크린도어, 버스와 택시 정류장 등에 부착된 문화 편의시설 덕분이다. ‘빨리빨리’의 터전이 이 시 작품들로 인해 조금은 넉넉한 기다림의 공간으로 탈바꿈되었음을 느낀다. 좋은 시도이다. 그러나 우리 주변에서 시는 여전히 부재하다.언제부턴가 시는 독자들의 마음을 울리지 못했다. 시의 문제라기 보단 읽히지 않음이 문제이다. 서점 서가에서 시집들의 자리는 위태로워졌고, 베스트셀러 목록에서 시집을 찾아보기 녹록치 않아졌다. 일명 ‘시 위기의 시대’이다.언어영역 수능문제를 푸는 어린 학생들에게도 시 문학이 멀게 느껴지긴 마찬가지인 듯싶다. 당당하게 문제를 풀어나가던 학생이 시 문학 문제 앞에서 안색이 어두워지곤 한다. 왜 우리는 시와 멀어지게 되었을까. 대부분의 사람들이 시를 어렵다고 느낀다. 시의 언어가 가진 다중적 의미를 추상적이고 애매하다고 생각하기 때문이다. 시는 독자에게 문장이나 구절을 글자 뜻 그대로 해석하기 보다는 정서적·감정적 의미를 해석해내길 요한다. 요컨대, 직해(直解)보다는 연상력(聯想力)이 필요하다.시는 추상적이다는 이러한 편견은 우리의 생활 양상과도 연관된다. 생각의 속도만큼 빠르게 의사를 전달하고 싶어하는 요즘 사람들에게, 이를 위해 맞춤법마저 변형과 생략을 감행하는 이 시대에, 시는 몸에는 좋지만 노력을 요하는 슬로우 푸드(Slow Food)와 같은 문학이다. 하지만 이러한 연상의 단계를 거치면 시는 그 어떤 말보다 구체적이다. 그 어떤 장르와 도구보다도 의미 전달력이 강력하다. 우리말에는 의의는 있지만 지시대상이 없는 단어들이 많다. 가령, ‘사랑해’란 말이 그렇다. ‘열렬히 좋아하는 마음, 소중히 여기는 마음’ 등의 사전적 설명은 말의 깊이를 반영하지 못한다. 구체적인 대상 없는 언어의 진정한 의미는 시적 긴장감 안에서 비로소 구체적으로 표현된다.김소

  2010-04-25 경인일보

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  [김철준의 족집게 수능·화학]탄화수소유도체를 쉽게 접근하려면

  ■ 김철준 프로필과학 전문가 그룹 펜타스 이사·EBS 방송·이투스 인터넷·강남구청 인터넷수능방송 강사

  2010-04-25 경인일보

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  [김만희의 족집게 수능·사탐]불교·도가·도교 윤리

  ■ 김만희 프로필 전 에듀TV 방송·프리먼트·사이저스 사탐 강사·정방학원·두원학원(분당)·서진학원 강사, 현 강남구청 인터넷 수능방송·KT정보에듀·비타에듀·애니스터디·청솔 학원(송파, 광주, 일산)·이투스(송파, 분당)·대성학원(목동)·필탑학원(평촌)·정보탄탄학원·한터학원·명문학원·하나TV(건국대학교 IPTV)·7와이즈(KT 캠퍼스 www.7wise.co.kr)·명인학원(대치동), 멘토스학원(대치동)불교 윤리석가모니가 입멸(入滅)한 후, 불교는 소승 불교와 대승 불교로 나뉘어져 발전했다. 소승 불교는 수행자 자신의 정신 세계에만 몰입하여 사회와는 분리된 엄격한 종교성과 개인의 해탈을 강조하였다. 반면 대승 불교는 중생과 함께 하는 대중 불교로 발전하였다. 대승 불교는 반야경의 출현과 용수(龍樹)의 사상으로부터 시작되었다. 대승불교의 공(空)사상이란 자아의 아집으로부터 벗어나서 너와 나를 하나로 여기는 지혜를 얻기 위한 것이다. 세상이 공허하다는 허무주의가 아닌 욕망이나 아집(我執)과 같이 자아나 사물에 집착하는 오류를 지적하고자 출현한 사상이다. 중도(中道)사상은 우주의 본질과 현실의 양면을 객관적으로 관찰하는 것이다. 대승 불교에서는 공 사상을 통해서 무아(無我)를 철저히 인식해 이기심을 버리고 대중과 함께 할 것을 강조했다. 또한 중도 사상을 통해 현실이 진리와 떨어져 있지 않다고 전파하였다. 대승 불교의 보살이란 위로는 진리를 구하고 아래로는 중생을 구제하는 사람이다. 나보다 남을 위해 봉사하며 남의 해탈을 위해서 자비로운 마음을 가지고 바라밀(波羅蜜)을 실천하는 불교의 이상적인 인간상이다. 바라밀이란 ‘저 언덕으로 간다’라는 뜻으로, 해탈을 상징하는 저쪽 언덕으로 가는 방법을 의미한다. 그러므로 대승 불교에서는 나에 대한 이기적인 집착을 버리는 공 사상을 철저히 깨닫고 실천하는 것을 중시하였다. ‘무주상보시’라는 말은 내가 내 것을 누구에게 주었다는 생각조차 버리는 일을 의미하는데, 같은 맥락이라고 할 수 있다.인도의 대승 불교가 중국에 전파되어 기원후 6, 7세기경에

  2010-04-25 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]데카르트와 파리, 그리고 좌표평면

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사수학을 공부하는 학생이라면, 중학교 때부터 x축과 y축 으로 구성된 좌표평면을 수도 없이 많이 보아왔을 것이다. 그 중 혹자는 좌표와 그림이 나오면 문제를 쉽게 풀 수 있으니 좌표를 반겼을 것이고, 혹자는 ‘또 함수문제, 또 도형의 방정식문제’ 라고 생각하며 어려워했을 것이다. 오늘은 수학을 공부하는 많은 학생들의 친구라 할 수 있는 좌표평면에 대해 이야기 해보고자 한다. 좌표평면의 가장 큰 특징은 추상적으로만 생각했던 기하학의 내용, 즉 원, 직사각형, 정사각형, 곡선 등 다양한 도형을 좌표평면에 도입함으로서 정확한 위치와 정확한 길이 정확한 모양을 정하고 측정할 수 있으며, 그 식을 도출해 낼 수 있게 해준다는 점이다. 이 좌표평면을 창안한 사람은 수학자보다는 합리주의 철학자로 수많은 인문계열 학생들을 괴롭힌 또는 앞으로 괴롭힐 ‘데카르트’이다. 자연계열 학생들은 합리주의가 무엇인지 잘 모르더라도, “나는 생각한다, 고로 나는 존재한다.”라는 말은 누구나 한번쯤은 들어보았을 것이다. 이 말을 남긴 학자가 바로 데카르트이다. 데카르트는 16세기 말 프랑스에서 태어났다. 데카르트는 그가 태어난 지 1년도 되지 않아 어머니를 여의고 아버지 밑에서 자랐는데 어릴 때부터 병약했다. 학교에 갈 수 없을 정도로 허약했으나 학교를 가고 싶어 했던 데카르트를 위해 아버지는 유태인이 운영하는 학교에 데카르트를 입학시켰고 그곳에서 데카르트는 논리학, 물리학, 유클리드 기하학, 대수학 등을 공부 할 수 있었다. 데카르트는 몸이 약했기 때문에 아침 늦게까지 침대에 누워있고는 했는데 그 시간의 명상과 사색은 데카르트에게는 창조적 사고를 할 수 있는 귀중한 시간이었다.  데카르트는 이후 파리로 가서 친구들과 생활하다가 귀족문화에 염증을 느끼고 군대에 가게 된다. 그리고 그 군대에서 평소의 습관대로 아침명상을 하다가 천장에 있는 파리 한 마리를 보게 되고 파리의 위치를 어떻게 표현 할 지를 생각

  2010-04-25 경인일보

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  [차길영의 족집게 수능·수리]매미

  ■ 차길영 프로필강남구청 인터넷 수능방송 수리인강 강사ebsi  수리영역 강사세븐에듀 수학인강 강사   매미는 곤충 중에서 가장 오래 사는 곤충에 속한다.   매미는 대부분 여름에 짝짓기를 하여 식물의 조직속에 알을 낳고, 알에서 부화한 매미의 유충은 땅 속에서 수명의 거의 대부분을 애벌레로 지내다가 성충이 된다.     여러 종류의 매미가 산란에서 성충이 되기까지 걸리는 기간이 보통 5년, 7년, 13년, 17년이다. 우리나라에서 잘 알려진 유지매미, 참매미는 산란한 해부터 7년 정도면 성충이 되고 늦털매미의 경우 5년 정도면 성충이 된다. 북아메리카에 사는 매미는 13년, 17년 걸리는 종으로 나뉜다.    이와 같은 매미의 생활주기에서 발견될 수 있는 공통점은 주기가 모두 소수라는 점이다. 자연수 중에서 1과 자기 자신만으로 나눠지는 1보다 큰 수를 소수라고 부른다. 예를 들면 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 등이며 무한히 많은 소수가 존재한다는 것은 그리스 시대부터 알려진 사실이다.    매미가 왜 소수를 주기로 생활하는가에 대한 유력한 학설 두 가지가 있다. 첫 번째는 매미가 소수를 수명의 주기로 삼으면 천적을 피하기 쉽다는 것이고 두 번째 학설은 동족간의 경쟁을 피하기 위해 스스로 조정했다는 것이다.    먼저 첫 번째 학설을 살펴보자.   매미는 천적인 기생충을 피하기 위해 수명의 대부분을 땅속에서 애벌레 즉 유충의 형태로 보내다가 생애의 마지막 수개월에 비로소 땅속에서 나와 번식을 위하여 활동한다.     만약 기생충의 수명이 2년이라면 매미 입장에서는 2의 배수인 수명을 피하는 것이 상책이다. 그렇지 않으면 매미는 또 다시 새로 태어나는 기생충의 숙주가 될 수 밖에 없을 것이다. 마찬가지로 기생충의 수명이 3년이라면 매미 입장에서는 3의 배수인 수명 역시 피해야 했을 것이다. 만약 기생충의 수명이 2년

  2010-04-19 경인일보

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  [조은정의 족집게 수능·외국어]현재완료 vs 과거 시제

  ■ 조은정 프로필  현) 강남구청 인터넷 수능 방송 강사현) 티치미 외국어 영역 강사서울대학교 졸업서울대학교 외국어교육 석사 졸업美 코넬대학교(Cornell University) 언어학 박사과정 수학   지난호에 과거 시제의 용법을 보았다. 과거 시제는 화자(서술자)가 발화시점인 현재와 단절된 과거의 일정 시점을 표현하는 반면에, 현재완료[have p.p] 시제는 과거에 일어난 혹은 시작된 일이 현재 화자의 상황에 영향을 줌을 강하게 드러낸다.  이번 주에는 현재완료 시제의 용법을 예문을 통해 본다. since+과거시점, for+기간, until now, so far, up to now 등 과거부터 현재까지의 지속이나 영향성을 드러내는 시간 부사어들은 특히 현재완료 시제와 잘 어울린다.01 Every advance in human understanding since then [has been / was] made by brave individuals daring to step into the unknown darkness and to break free from accepted ways of thinking. [문장출처: 2007 수능] 그 이후로 인간의 이해의 모든 발전은 과감하게 미지의 어둠 속으로 발을 내딛고 기존에 받아들여졌던 사고방식에서 벗어난 용감한 사람들에 의해 이루어졌다. since then(‘그때 이래로 지금까지’)이 현재까지 지속되는 기간 개념을 표현하므로 현재완료 시제 has been이 옳다.  02 Since it [manufactured / has manufactured] its first car in 1955, Korea has grown to be the sixth largest automobile producer in the world. [문장출처: 2005 수능] 한국은 1955년 최초의 자동차를 제조한 이래로 세계 6대 자동차 생산국으로 성장해왔다. since절 안에는 과거 일정 시점의 사건을 표현하고 있으므로 과거

  2010-04-19 경인일보